Дерево

Тригонометрия с нуля: основные понятия, история. Как изучать тригонометрию Тригонометрические функции в жизни человека

Павлов Роман

Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №10

с углубленным изучением отдельных предметов

Проект выполнил:

Павлов Роман

ученик 10б класса

Руководитель:

учитель математики

Болдырева Н.А

г. Елец, 2012

1.Введение.

3. Мир тригонометрии.

Тригонометрия в физике.

Тригонометрия в планиметрии.

3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые (с помощью компьютерной программы «Функции и графики»).

Кривые в полярных координатах (Розетки).
Кривые в декартовых координатах (Кривые Лиссажу).
Математические орнаменты.

4. Заключение.

5. Список литературы.

Цель проекта - развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» в курсе алгебры и начала анализа через призму прикладного значения изучаемого материала; расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология. Не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.

Объект исследования - тригонометрия

Предмет исследования - прикладная направленность тригонометрии; графики некоторых функций, с использованием тригонометрических формул.

Задачи исследования:

1.Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.

2.Показать на конкретных примерах практические приложения тригонометрии в различных науках..

3.Раскрыть на конкретных примерах возможности использования тригонометрических функций, позволяющие «мало интересные» функции превращать в функции, графики которых имеют весьма оригинальный вид.

Гипотеза- предположения : Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.

Методы исследования - анализ математической литературы по данной теме; отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме; компьютерное моделирование на основе компьютерной программы. Открытая математика «Функции и графики» (Физикон).

1. Введение

« Одно осталось ясно, что мир устроен

Грозно и прекрасно».

Н.Рубцов

Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.

2.История развития тригонометрии.

Слово тригонометрия составилось из двух греческих слов: τρίγονον (тригонон-треугольник) и и μετρειν (метрейн- измерять) в буквальном переводе означает измерение треугольников .

Именно эта задача- измерение треугольников или, как принято теперь говорить, решение треугольников, т.е. определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам (стороне и двум углам, двум сторонам и углу или трем сторонам)- с древнейших времен составляла основу практических приложений тригонометрии.

Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии. Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.

Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха (середина II века до н.э.). Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника. Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. При этом основным средством получения нужных результатов было умение вычислять длины круговых хорд на основании известных соотношений между сторонами правильных трех-, четырех-, пяти- и десятиугольника и радиусом описанного круга.

Гиппарх составил первые таблицы хорд, т.е. таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Впрочем, оригинальные таблицы Гиппарха(как и почти все им написанное) до нас не дошли, и мы можем составить себе о них представление главным образом по сочинению « Великое построение» или (в арабском переводе) « Альмагест» знаменитого астронома Клавдия Птолемея , жившего в середине II века н.э.

Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр- на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям(60  ). Каждую из частей он делил на 60  , каждую минуту на 60  ,секунду на 60 терций (60  ) и т.д., применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60  в виде 60 частей радиуса(60 ч ), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90  приравнивал числу 84 ч 51  10  .Хорду в 120  - сторону вписанного равностороннего треугольника- он выражал числом 103 ч 55  23  и т.д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда  ) 2 +(хорда  180-  ) 2 =(диаметру) 2 , что соответствует современной формуле sin 2  +cos 2  =1.

«Альмагест» содержит таблицу хорд через полградуса от 0  до 180  , которая с нашей современной точки зрения представляет таблицу синусов для углов от 0  до 90  через каждые четверть градуса.

В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея : «прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противолежащих сторонах» (т.е. произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Пользуясь этой теоремой, греки умели (с помощью теоремы Пифагора) по хордам двух углов вычислить хорду суммы (или хорду разности) этих углов или хорду половины данного угла, т.е. умели получать результаты, которые мы получаем теперь по формулам синуса суммы(или разности) двух углов или половины угла.

Новые шаги в развитии тригонометрии связаны с развитием математической культуры народов Индии, Средней Азии и Европы (V-XII) .

Важный шаг вперед в период с V по XII век был сделан индусами, которые в отличие от греков стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ  (см. чертеж) соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. то, что мы теперь называем линией синуса  - половины центрального угла.

Наряду с синусом индусы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. (Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90  . «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus).

Им были известны также соотношения cos  =sin(90  -  ) и sin 2  +cos 2  =r 2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

Следующий этап в развитии тригонометрии связан со странами

Средней Азии, Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.)

Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный « вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам.

Решая задачу об определении высоты Солнца S по тени b вертикально стоящего шеста a (см чертеж), сирийский астроном ал-Баттани (Хв.)пришел к выводу, что острый угол  в прямоугольном треугольнике определяется отношением одного катета к другому, и вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1  . Точнее говоря, он вычислил длину тени b=a  =a  ctg  шеста определенной длины (а=12) для  =1  ,2  ,3  ……

Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998) , составил аналогичную «таблицу тангенсов», т.е. вычислил длину тени b=a  =a  tg  , отбрасываемой горизонтальным шестом определенной длины (а=60) на вертикальную стену (см. чертеж).

Следует отметить, что сами термины « тангенс» (в буквальном переводе- «касающийся») и «котангенс» произошли из латинского языка и появились в Европе значительно позднее (XVI-XVIIвв.). Среднеазиатские же ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс-«первой тенью», тангенс- «второй тенью».

Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил (словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10  .

В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).

Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге « О треугольниках разных родов» ,написанной Иоганном Мюллером , более известным в математике под именем Региомонтана(1436-1476). Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001. При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равным 10 000 000 или 10 000, т.е. выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.

Английский ученый XIV века Брадвардин (1290-1349) первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».

На пороге XVIIв. В развитии тригонометрии намечается новое направление- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет , первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций.

В первой половине XIXв. французский ученый Ж.Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.

Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера(1707-1783), он придал всей тригонометрии современный вид.

В своем труде «Введение в анализ»(1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.

Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.

Введя в математику новые функции- тригонометрические, стало целесообразным поставить вопрос о разложении этих функций в бесконечный ряд. Оказывается, такие разложения возможны:

Sinx=x-

Cosx=1-

Эти ряды позволяют значительно облегчить составление таблиц тригонометрических величин и для нахождения их с любой степени точности.

Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Н.И.Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и других.

« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций…Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.

3.Мир тригонометрии.

3.1 Применение тригонометрии в различных науках.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.

Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография, геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Тригонометрия в физике.

Гармонические колебания.

Когда какая-либо точка движется по прямой линии попеременно то в одну, то в другую сторону, то говорят, что точка совершает колебания.

Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. Закон этих колебаний имеет вид x=Rcos(t+  ), (1).

где R-радиус окружности, Т-время одного оборота точки М, а число  показывает начальное положение точки на окружности. Такие колебания называют гармоническими или синусоидальными.

Из равенства (1) видно, что амплитуда гармонических колебаний равна радиусу окружности, по которой движется точка М, а частота этих колебаний равна .

Обычно вместо этой частоты рассматривают циклическую частоту  = , показывающую угловую скорость вращения, выраженную в радианах в секунду. В этих обозначениях имеем: x= R cos( t+  ). (2)

Число  называют начальной фазой колебания .

Изучение колебаний всякого рода важно уже по одному тому, что с колебательными движениями или волнами мы сталкиваемся весьма часто в окружающем нас мире и с большим успехом используем их (звуковые волны, электромагнитные волны).

Механические колебания.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или маятник. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине (см.рис.) и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают расчеты, отклонение гири от положения равновесия выражается формулой s= sin  t.

Здесь v 0 -скорость, с которой мы толкнули гирю,а  = , где m-масса гири,k- жесткость пружины(сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Если мы сначала оттянем гирю на s 0 см,а потом толкнем ее со скоростью v 0 , то она будет совершать колебания по более сложному закону: s=Asin( t+  ) (2).

Расчеты показывают, что амплитуда А этого колебания равна ,а число таково, что tg  = . Из-за слагаемого  это колебание отличается от колебания s=Asin  t.

График колебания (2) получается из графика колебания(1) сдвигом влево

на . Число  называют начальной фазой.

Колебания маятника.

Колебания маятника тоже приближенно происходят по синусоидальному закону. Графическое изображение этой функции, дающее наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени удобно рассмотреть с помощью модели маятника программы « Функции и графики» (см. приложение VIII).

Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается формулой:

 =  0 sin(t ), где l -длина маятника, а  0 -начальный угол отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается.(Это хорошо видно на рис.1-7 прилож. VIII). На рис.8-16 ,приложения VIII хорошо видно,как изменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется. Измеряя период колебания маятника известной длины, можно вычислять ускорение земного тяготения g в различных точках земной поверхности.

Разряд конденсатора.

Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. Так в цепи, изображенной в правом верхнем углу модели, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону q = CU + (q 0 – CU ) cos ω t ,где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, L –индуктивность катушки, - угловая частота колебаний в цепи.

Благодаря модели конденсатора, имеющейся в программе « Функции и графики» можно устанавливать параметры колебательного контура и строить, соответствующие графики g(t)и I(t). На графиках 1-4 хорошо видно как влияет напряжение на изменение силы тока и заряда конденсатора, при этом видно, что при положительном напряжении заряд также принимает положительные значения. На рис.5-8 приложения IX показано, что при изменении емкости конденсатора(при изменении индуктивности катушки на рис. 9-14 приложения IX) и сохранении неизменными остальных параметров меняется период колебаний, т.е. меняется частота колебаний силы тока в цепи и меняется частота заряда конденсатора..(см. приложение IX).

Как соединить две трубы.

Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу.Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок.

Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу.

Теория радуги.

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом . Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

где n 1 =1, n 2 ≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Северное сияние

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется, силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы

Задачи по тригонометрии с практическим содержанием.

Винтовая линия.

Представим себе, что на боковую поверхность цилиндра с диаметром d наматывается прямоугольный треугольник АВС (см.рис.)с основанием АС =  d так, что основание это совпадает с окружностью основания цилиндра. Так как АС =  d , то точка С после того, как весь треугольник будет навернут на боковую поверхность цилиндра, совпадает с точкой А 1 , точка В займет положение В 1 на образующей А 1 В 1 цилиндра, а гипотенуза АВ займет некоторое положение на боковой поверхности цилиндра и примет форму винтовой линии.

Мы получили один виток винтовой линии. Длина катета ВС (h) называется шагом винтовой линии. Угол ВАС ( ) называется углом подъема винтовой линии. Найдем зависимость между h,d, и  . Из треугольника АВС имеем h=  dtg  ;полученная формула позволяет также определить угол подъема по данным h и d. tg  = .

Определение коэффициента трения.

Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона  . Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k.

Решение.

Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos  .

Сила, которая тянет тело вниз равна F=Psin  -kPcos  =P(sin  -kcos  ).(1)

Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а= .

С другой стороны, ускорение а= = =gF ;следовательно, .(2)

Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin  -kcos  )= .

Отсюда: k= =gtg  - .

Тригонометрия в планиметрии.

Основные формулы при решении задач по геометрии с применением тригонометрии :

Sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

Sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс противолежащего угла.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус прилежащего угла.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на котангенс прилежащего угла.

Задача1: На боковых сторонах АВ и СD равнобокой трапеции ABCD взяты точки М и N таким образом, что прямая MN параллельна основаниям трапеции. Известно, что в каждую из образовавшихся малых трапеций MBCN и AMND можно вписать окружность, причем радиусы этих окружностей равны r и R соответственно. Найти основания AD и BC.

Дано: ABCD-трапеция,AB=CD, MєAB,NєCD, MN||AD, в трапеции MBCN и AMND можно вписать окружность с радиусом r и R соответственно.

Найти: AD и BC.

Решение:

Пусть O1 и O2 – центры вписанных в малые трапеции окружностей. Прямая О1К||CD.

В ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Т.к. ∆O2FD прямоугольный, то O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Т.к. AD=2DF=2R*ctg(α/2),

аналогично BC = 2r* tg(α/2).

Cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α/2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√(r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тогда AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), находим ответ.

Ответ: AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Задача2 : В треугольнике ABC известны стороны b, c и угол между медианой и высотой, исходящими из вершины A. Вычислить площадь треугольника ABC.

Дано: ∆ ABC, AD-высота, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.

Найти: S∆ABC.

Решение:

Пусть CE=EB=x, AE=y, AED=γ. По теореме косинусов в ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); а в ∆ACE по теореме косинусов c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Вычитая из 1 равенства 2 получим c²-b²=4xy*cosγ(3).

Т.К. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), тогда разделив 3 равенство на 4 получим: (c²-b²)/S=4*ctgγ, но ctgγ=tgαб, следовательно S∆ABC= (с²-b²)/4*tgα.

Ответ: (с²-b²)/4*tgα.

Тригонометрия в искусстве и архитектуре.

Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения (рис.1)

Ситуация меняется (рис2), так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2  + sin 2  = 1.

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

Тригонометрия в медицине и биологии.

Модель биоритмов

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Формула сердца

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории

вновь позабыли.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые.

Кривые в полярных координатах.

с. 16ис. 19 Розетки.

В полярных координатах выбираются единичный отрезок e, полюс О и полярная ось Ох. Положение любой точки М определяется полярным радиусом ОМ и полярным углом  , образованным лучом ОМ и лучом Ох. Число r ,выражающее длину ОМ через е (ОМ=rе) и численное значение угла  , выраженного в градусах или в радианах, называются полярными координатами точки М.

Для любой точки, отличной от точки О, можно считать 0 ≤  2  и r  0. однако при построении кривых, соответствующих уравнениям вида r=f( ), переменному  естественно придавать любые значения (в том числе и отрицательные, и превышающие 2  ), а r может оказаться как положительным, так и отрицательным.

Для того чтобы найти точку ( ,r), проведем из точки О луч, образующий с осью Ох угол  , и отложим на нем (при r  0) или на его продолжении в противоположную сторону (при r  0) отрезок  r  е.

Все значительно упростится, если предварительно построить координатную сетку, состоящую из концентрических окружностей с радиусами е,2е,3е и т. д.(с центром в полюсе О) и лучей, для которых  =0  ,10  ,20  ,…,340  ,350  ; эти лучи будут пригодны и при  0  , и при  360  ; например, при  =740  и при  =-340  мы попадем на луч, для которого  =20  .

Исследованию данных графиков помогает компьютерная программа « Функции и графики» . Пользуясь, возможностями этой программы исследуем некоторые интересные графики тригонометрических функций.

1 .Рассмотрим кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3 

I. r=sin3  (трилистник ) (рис.1)

II.r=1/2+sin3  (рис.2), III. r=1+ sin3  (рис.3), r=3/2+ sin3  (рис.4) .

У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют незаконченный вид. Таким образом при а  1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид.

2.Рассмотрим кривые при а=0; 1/2; 1;3/2

При а=0 (рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный вид, при а=3/2 будет пять незаконченных лепестков., (рис.4).

3.В общем случае у кривой r= первый лепесток будет заключен в секторе (0  ; ), т.к. в этом секторе 0  ≤ ≤180  . При   1 лепесток будет занимать сектор, больший 180  , но меньший 360  , а при  для одного лепестка потребуется «сектор», превышающий 360  .

На рис1-4 показан вид лепестков при = , , , .

4.Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире растений. Например, уравнениям r=4(1+cos3  ) и r=4(1+cos3  )+4sin 2 3  соответствуют кривые, изображенные на рис.1.2 .

Кривые в декартовых координатах.

Кривые Лиссажу.

Много интересных кривых можно построить и в декартовых координатах. Особенно интересно выглядят кривые, уравнения которых даны в параметрическом виде:

Где t-вспомогательное переменное(параметр). Например, рассмотрим кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:

Если за параметр t взять время, то фигуры Лиссажу будут представлять собой результат сложения двух гармонических колебательных движений, совершаемых во взаимно перпендикулярных направлениях. В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника со сторонами 2а и2в.

Рассмотрим это на следующих примерах

I. x=sin3t; y=sin 5t (рис.1)

II. x=sin 3t; y=cos 5t (рис.2)

III. x=sin 3t; y=sin 4t.(рис.3)

Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Например, замена уравнений I уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.(рис.4)

Интересны и своеобразны линии, соответствующие уравнениям вида

у=arcsin(sin k(x-  )).

Из уравнения y=arcsin(sinx) следует:

1) и 2)siny=sinx.

При этим двум условиям удовлетворяет функция у=х. Графиком ее в интервале (- ; ) будет отрезок АВ ломаной, изображенной на графике.

В интервале будем иметь у=  -х, так как sin( -x)=sinx и в этом интервале

Здесь график изобразится отрезком ВС.

Так как sinx –периодическая функция с периодом 2  , то ломаная АВС, построенная в интервале(, ) повторится на других участках.

Уравнению y=arcsin(sinkx) будет соответствовать ломаная линия с периодом (период функции sin kx).

Добавляя в правой части множитель m получим уравнение у=arcsin(sin kх), которому будет отвечать ломаная. На рисунке изображены графики при k=2,m=1/2;k=2, m=-2.

Математические орнаменты.

Под математическим орнаментом будем понимать рисунок, характеризуемый каким-нибудь уравнением или неравенством (а может быть системой уравнений или неравенств), в котором многократно повторяется тот или иной узор.

удовлетворяют координаты точек, которые лежат одновременно выше синусоиды (для них у>sinx) и ниже кривой y=-sinx, т.е. « область решений» системы будет состоять из закрашенных на рис.1 областей.

2.Рассмотрим неравенства

(y-sinx)(y+sinx)

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=sinx; y=-sinx.

Затем закрашиваем области, где y>sinx и одновременно y-sinx.

Этому неравенству будут удовлетворять области,закрашенные на рис.2

2)(y 2 -arcsin 2 (sinx))(y 2 -arcsin 2 (sin(x+ )))

Перейдем к следующему неравенству:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx)){ y-arcsin(sin(x+ ))}{y+arcsin(sin(x+ ))}

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Составим таблицу возможных вариантов решений. +

Затем рассматриваем и закрашиваем решения следующих систем.

4) 5) 6)

7) 8)

Этому неравенству будут удовлетворять области, закрашенные на рис.3

3)(y 2 -sin 2 x)(y 2 -sin 2 (x+ ))(y 2 -sin 2 (x- ))

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=±sinx; y=±sin(x+ ); y=±sin(x- ) .

Левая часть исходного неравенства состоит из трех множителей. Произведение трех множителей меньше нуля, если хотя бы один из них меньше, а два других больше нуля. Поэтому рассматриваем три случая: 1) Первый множитель меньше нуля,т,е.|y||sin(x+ )| и |y|>|sin(x- )|.

2) Второй множитель меньше нуля, т.е|y|)| , другие множители положительны, т.е. .|y|>|sinx| и |y|>|sin(x- )|.

3) Третий множитель меньше нуля,т.е. |y|)|, другие множители положительны, т.е. |y|>|sinx| и |y|>|sin(x+ )|.

Затем рассматриваем и закрашиваем решения в каждом случае.

Этому неравенству будут удовлетворять области,закрашенные на рис.4

4. Заключение.

Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, технике, в быту.

Использование моделирующей программы « Функции и графики» значительно расширило возможности проведения исследований, позволило материализовать знания при рассмотрении приложений тригонометрии в физике.Благодаря этой программе проведены лабораторные компьютерные исследования механических колебаний на примере колебаний маятника, рассмотрены колебания в электрической цепи. Использование компьютерной программы позволило исследовать интересные математические кривые, задаваемые с помощью тригонометрических уравнений и построением графиков в полярных и декартовых координатах. Графическое решение тригонометрических неравенств привело к рассмотрению интересных математических орнаментов.

5.Список использованной литературы.

.Атанасов П.Т., Атанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием: Кн.для учителя.-М.:Просвещение,1987-110с.
.Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл.-М.:Просвещение,1985-148-165с(Мир знаний).
Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. Гос.изд.физ-мат.лит.М,1961-148-169стр.
.Кожуров П.Я. Курс тригонометрии для техникумов. Гос. изд. технико-теоретической лит. М.,1956
Колосов А.А. Кн.для внеклассного чтения по математике в старших классах. Гос. учебно-пед. изд.Мин.Просв. РФ,М.,1963-407с.
Муравин Г.К.,Тараканова О.В. Элементы тригонометрии. 10 кл..-М.:Дрофа,2001-128с.
Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: пособие для учащихся 9-11 кл.. –М.:Просвещение,1996-80с.
Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. Кн.для учителя.-М.:Просвещение,1990-96с.

ТРИГОНОМЕТРИЯ –(от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр. Тригонометрия началась именно с наиболее сложной, сферической части. Она возникла прежде всего из практических нужд. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие. Этим и занимается тригонометрия. А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

А начиналось все очень давно. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления .

Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.). Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. В Альмагесте автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц, вычисленных с шагом 0,5° с точностью до 1/3600 единицы, и объясняет, как эта таблица составлялась. Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.

Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, надо познакомиться с методом Птолемея. Метод основан на теореме – произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, АD – диаметр окружности, а точка O – ее центр (рис. 1). Если известно, как вычислять хорды, стягивающие углы DOC = a и DОВ = b, т. е. сторону СD и диагональ B, то, по теореме Пифагора , из прямоугольных треугольников АDВ и АDС можно найти АВ и АС, а потом, по теореме Птолемея, – BC = (АС ·ВD – АВ ·СD ) /АD , т.е. хорду, стягивающую угол ВОС = b – a. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90, 60 и 45°, легко определить. Известна также сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведенное выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° – 60°. Кроме того, можно находить хорды половинных углов, однако этого недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, – хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашел оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° – двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.

Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos a, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

За единицу измерения отрезков MP , OP , PA принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги AB = 90° есть OB – радиус окружности; дуга AL , равная радиусу, содержит (округленно) 57°18" = 3438".

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4–5 веке н.э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45" (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус». Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1" и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал Трактат о полном четырехстороннике астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

В 12 в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятиричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятиричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в1596 его учеником Отто. Углы шли через 10"", а радиус делился на 1 000 000 000 000 000 частей, так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер (1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x , cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.

Решение любых треугольников, в конечном счете, сводится к решению прямоугольных треугольников (т.е. таких, у которых один из углов – прямой). Поскольку все прямоугольные треугольники с заданным острым углом подобны друг другу, отношения их соответственных сторон одинаковы. Например, в прямоугольном треугольнике ABC отношение двух его сторон, например, катета а к гипотенузе с , зависит от величины одного из острых углов, например А . Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рис. 3).

Так как А + В = 90°, то

sin A = cos B = cos (90° – A ),

A = ctg B = ctg (90° – A ).

Из определений вытекает несколько равенств, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла между собой:

С учетом теоремы Пифагора a 2 + b 2 = c 2 можно выразить все шесть функций через какую-нибудь одну. Например, синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством

sin 2 A + cos 2 A = 1.

Некоторые соотношения между функциями:

Эти формулы справедливы и для тригонометрических функций любого угла, но ими надо пользоваться осторожно, поскольку правые и левые части могут иметь разные области определения.

Есть только два прямоугольных треугольника, у которых и углы «хорошие» (выражаются целым или рациональным числом градусов), и хотя бы одно из отношений сторон рационально. Это равнобедренный треугольник (с углами 45, 45 и 90°) и половина равностороннего треугольника (с углами 30, 60, 90°) – как раз те два случая, когда значения тригонометрических функций удается вычислить прямо по определению. Эти значения приведены в таблице

n	0	1	2	3	4
Угол	0	30°	45°	60°	90°
sin
cos
tg
ctg			Отношения, входящие в теорему синусов, имеют простой геометрический смысл. Если описать окружность около треугольника ABC (рис. 4) и провести диаметр BD , то по теореме о вписанном угле РBCD = РA либо, если угол тупой, 180° – А . В любом случае a = BC = BD sin A = 2 R sin A или где R – радиус описанной окружности треугольника АВС . Это «усиленная» теорема синусов, объясняющая, почему таблицы хорд древних были, по существу, таблицами синусов. Доказывается и теорема косинусов с 2 = а 2 + b 2 – 2аb cos С . позволяющая найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними, а также углы по трем сторонам. Есть и ряд других соотношений между элементами треугольника, например. теорема тангенсов:, где cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b, cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Общее определение тригонометрических функций Пусть точка движется с единичной скоростью по единичной окружности с центром в начале координат О против часовой стрелки (рис. 5). В момент t = 0 точка минует P 0 (1; 0). За время t точка проходит дугу длиной t и занимает положение Р t , а значит, угол, на который поворачивается луч, проведенный в эту точку из О , тоже равен t. Таким образом, мы сопоставляем каждому моменту времени, т.е. точке t действительной прямой, точку Р t единичной окружности. Подобное отображение прямой на окружность иногда называют «намоткой». Если представить действительную ось в виде бесконечной нерастяжимой нити, приложить точку t = 0 к точке P 0 окружности и начать наматывать оба конца нити на окружность, то каждая точка t попадет как раз в точку Р t . При этом: 1) точки оси, отстоящие друг от друга на целое число длин окружностей, т, е. на 2pk (k =±1, ± 2, …), попадают в одну и ту же точку окружности; 2) точки t и –t попадают в точки, симметричные относительно Ox ; 3) при 0 Ј t Ј p угол P 0 OP t отложен в полуплоскость у і 0 и равен t (рис. 8). Три этих условия составляют формальное определениетакогоотображения – намотки. В силу условия 3 при 0 = t Ј p координаты точки р равны (cos t , sin t ). Данное наблюдение и подсказывает определение: косинусом и синусом произвольного числа t называются соответственно абсцисса и ордината точки Р t . Тангенс тоже можно определить через координаты. Проведем касательную к единичной окружности в точке (1; 0) (рис. 7). Она называется осью тангенсов. Точка Q t пересечения прямой OP t с осью тангенсов имеет координаты (1; sin t /cos t ), и ее ордината, по определению, равна tg t . По абсолютной величине это длина отрезка касательной, проведенной из Q t к окружности. Таким образом, само название «тангенс» вполне оправдывается. Кстати, как и секанса: на рис. 9 sec t – отрезок OQ t , являющийся, правда, не всей секущей, но ее частью. Наконец, котангенс можно определить как абсциссу точки пересечения OP t с осью котангенсов – касательной к единичной окружности в точке (0, 1): ctg t =cos t / sin t . Теперь тригонометрические функции определены для всех чисел. Марина Федосова

«Юность, творчество, поиск»

МБОУ «Тирянская СОШ»

Научно-исследовательская работа по теме

«Тригонометрия и тригонометрические уравнения»

Работу выполнил

ученик 10 класса

Субботин Антон.

Руководитель

учитель математики

Кезикова Л.Н.

Нетризово

План.

Введение. Стр. 3.
История возникновения тригонометрии. Стр. 4.
Тригонометрические уравнения. Стр. 7.

3.1. Простейшие тригонометрические уравнения. Стр. 7.

3.2. Схема решения тригонометрических уравнений. Стр. 9.

3.3. Введение вспомогательного аргумента. Стр. 11.

3.4. Универсальная тригонометрическая подстановка. Стр. 12.

3.5. Решение тригонометрических уравнений с помощью

формул. Стр. 14.

3.6. Решение тригонометрических уравнений с помощью

разложения на множители. Стр. 15.

3.7.Решение однородных тригонометрических уравнений. Стр. 16.

3.8. Решение нестандартных тригонометрических

уравнений. Стр. 17.

Практические применения тригонометрии. Стр. 19.

4.1.Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре.Стр. 19.

4.2. Тригонометрия в биологии. Стр. 21.

4.3.Тригонометрия в медицине. Стр. 22.

Заключение. Стр. 23.
Список литературы. Стр. 24.

В в едение

В школьной программе по математике есть очень важный раздел «тригонометрия». «Тригонометрические уравнения» - одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования. Я решил писать данную работу, чтобы узнать побольше об истории появления тригонометрии, способах решения тригонометрических уравнений и рассмотреть применение тригономентрии в современной жизни.

Объект исследования: тригонометрия и тригонометрические уравнения.

Предмет исследования: практическое применение тригонометрии.

Цель исследования: установить картину возникновения понятий тригонометрии и выявить примеры применения.

История возникновения тригонометрии

Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 г. в заглавии книги немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561-1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον - треугольник, μετρεω - мера. Иными словами, тригонометрия - наука об измерениях треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже 2000 лет назад

Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.

В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учёными. В 4-5 веках появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты (476-ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха-половина, джива-тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IXв. слово джива (или джиба) было заменено на арабское словоджайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XIIв. это слово было заменено латинскимсинус (sinus-изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус - это сокращение латинского выражения complementlysinus, т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin(90° - a)).

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) , Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Тригонометрические уравнения
1. Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида , где - одна из тригонометрических функций: , , tgx . Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , , , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова:

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром . Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения , где , находятся по формуле

Особо отметим некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения: преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип: не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага - замены переменных - превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: , , ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: , ;

3) поскольку , то ответ можно записать в виде , . (В дальнейшем наличие параметра , , или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. (Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)

Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием: пусть - угол, задаваемый равенствами , . Для любых и такой угол существует. Таким образом . Если , или , , , в других случаях .

Пример. Решим уравнение 12cosx - 5sinx = -13

Решение: разделим обе части уравнения на , получим

cosx - sinx = -1.

Одним из решений системы cos = 12/13, sin = 5/13 является = = arccos (12/13). Учитывая это, запишем уравнение в виде:

и, применив формулу для косинуса суммы аргументов, получим

Откуда т.е.

Эта формула и дает все решения исходного уравнения.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Многие тригонометрические уравнения можно решить с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.

Пример. Решим уравнение

Решение:

Обращение к функции предполагает, что , то есть ,.

По формулам универсальной тригонометрической подстановки исходное уравнение примет вид:

;

;	или	;
,;		,;

Ответ: ,; ,.

Решение тригонометрических уравнений с помощью формул

Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений.

Пример.

1) Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Это уравнение является квадратным относительно cosx. Введем замену переменных cosx=y, тогда получим уравнение: . Его корни , . Таким образом решение сводится к решению двух уравнений:

cosx=1 имеет корни ,

cosx=-2 не имеет корней.

2) Уравнения, допускающие понижение степени.

Понижение степени происходит с использованием формул:

cos2α =2cos 2 α - 1

cos2α =1-2sin 2 α

Выразим через cos2x.

Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Пример.

1) sin2x+cosx=0

2sinxcosx+cosx=0

cosx (2sinx+1) =0

2) cos3x+sin5x=0

Решение однородных тригонометрических уравнений

Решим уравнение .

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: tg.

Пусть tg, тогда

, , ; , , .

Ответ. .

Решение нестандартных тригонометрических уравнений

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Преобразуем выражение :

Уравнение запишется в виде:

Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре

С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

На рис.2 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 + sin 2  = 1.

РИС. 1

А
С

Н
А
РИС. 2
Н
С

Тригонометрия в биологии.

Биоритмы.

Экологические ритмы: суточные, сезонные (годовые), приливные и лунные циклы

Физиологические ритмы: ритмы давления, биения сердца, артериальное давление, три биоритма, лежащие в основе «теории трех биоритмов»

Теория трех ритмов.

Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения
Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение
Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

Тригонометрия в медицине.

Бета-ритм - 14-30 Гц, активная умственная деятельность

Альфа-ритм – 8-13 Гц, монотонная, рутинная деятельность

Тета-ритм – 4-8 Гц, состояние близкое ко сну, полудрема

Дельта-ритм - 1-4 Гц, глубокий сон

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Заключение

В результате выполнения данной исследовательской работы:

Я подробнее узнал об истории возникновения тригонометрии.
Систематизировал методы решения тригонометрических уравнений.
Узнал о применениях тригонометрии в архитектуре, биологии, медицине.

Список литературы.

1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 1982.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 1983.

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994.

Введение

Реальные процессы окружающего мира обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Понятие «функция» сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Цель : выявить связь тригонометрических функций с явлениями окружающего мира и показать, что данные функции находит широкое применение в жизни.

задачи :

1. Изучить литературу и ресурсы удаленного доступа по теме проекта.

2. Выяснить, какие законы природы выражаются тригонометрическими функцией.

3. Найти примеры применения тригонометрических функций в окружающем мире.

4. Проанализировать и систематизировать имеющийся материал.

5. Подготовить оформленный материал в соответствии с требованиями информационного проекта.

6. Разработать в соответствии с содержанием проекта электронную презентацию.

7. Выступить на конференции с результатами проведённой работы.

На подготовительном этапе я нашел материал по данной теме и ознакомился с ним выдвинул гипотезы сформулировали цель своего проекта. Я начал поиск необходимой информации, изучал литературу по моей теме и материалы ресурсов удаленного доступа.

На основном этапе , была подобрана и накоплена информация по теме, проанализированы найденные материалы. Я выяснил основные области применения тригонометрических функций. Все данные были обобщены и систематизированы. Затем разработан целостный окончательный вариант информационного проекта, составлена презентация по теме исследования.

На заключительном этапе была проанализированапрезентация работы на конкурс. На этом этапе также предполагалась деятельность по реализации всех поставленных задач, подведение итогов, т. е. оценка своей деятельность.

Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы - модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

Тригонометрия в физике.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис.1).

Рис.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебаниясовершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

На рисунке 2 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением:

x = m cos (ωt + f 0).

Рисунок 2- Графики координаты x(t), скорости υ(t)

и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростьюυ.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

Наверняка, каждый не раз наблюдал явление, когда опущенные в воду предметы сразу же меняли свои размеры и пропорции. Интересное явление, погружаешь в воду свою руку, и она сразу же превращается в руку какого-то другого человека. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос и подробное объяснение этого явления как всегда дает физика – наука, которая может объяснить практически все, что нас окружает в этом мире.

Итак, на самом деле, при погружении в воду предметы, конечно же, не меняют ни своих размеров, ни своих очертаний. Это просто оптический эффект, то есть мы зрительно воспринимаем этот объект по-другому. Происходит это из-за свойства светового луча. Оказывается, на скорость распространения света в огромной мере влияет, так называемая оптическая плотность среды. Чем плотнее эта оптическая среда, тем медленнее распространяется луч света.

Но и изменение скорости луча света еще не объясняет в полной мере рассматриваемого нами явления. Существует и еще один фактор. Так вот, когда световой луч проходит границу между менее плотной оптической средой, например воздухом, и более плотной оптической средой, например водой, часть светового луча не проникает внутрь новой среды, а отражается от ее поверхности. Другая же часть светового луча проникает внутрь, но, уже меняя направление.

Это явление называется преломлением света, и ученые уже давно могут не просто наблюдать, но и точно рассчитывать угол этого преломления. Оказалось, что простейшие тригонометрические формулы и знание синуса угла падения и угла преломления дают возможность узнать постоянный коэффициент преломления для перехода светового луча из одной конкретной среды в другую. Например, коэффициент преломления воздуха чрезвычайно мал и составляет 1,0002926, коэффициент преломления воды чуть больше - 1,332986, алмаз преломляет свет с коэффициентом 2,419, а кремний - 4,010.

Данное явление лежит в основе, так называемой Теории радуги. Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре.

С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения (рис.4).

На рисунке 5 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий:Детская школа Гауди в Барселоне, Небоскрёб Мэри-Экс в Лондоне, Винодельня «Бодегас Исиос» в Испании,Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.

Тригонометрия в биологии.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло Солнца и Луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов, фазы Луны и движение нашей планеты.

Биологические ритмы, биоритмы, - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Способность к таким изменениям жизнедеятельности передается по наследству и обнаружена практически у всех живых организмов. Их можно наблюдать в отдельных клетках, тканях и органах, целых организмах и популяциях. Биоритмы подразделяют на физиологические , имеющие периоды от долей секунды до нескольких минут и экологические, по длительности совпадающие с каким либо ритмом окружающей среды. К ним относят суточные, сезонные, годовые, приливные и лунные ритмы. Основной земной ритм – суточный, обусловлен вращением Земли вокруг своей оси, поэтому практически все процессы в живом организме обладают суточной периодичностью.

Множество экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим, температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное поле, морские приливы и отливы, под влиянием этого вращения закономерно изменяются.

Мы на семьдесят пять процентов состоим из воды, и если в момент полнолуния воды мирового океана поднимаются на 19 метров над уровнем моря и начинается прилив, то вода, находящаяся в нашем организме так же устремляется в верхние отделы нашего тела. И у людей с повышенным давлением часто наблюдаются обострения болезни в эти периоды, а натуралисты, собирающие лекарственные травы, точно знают в какую фазу луны собирать «вершки – (плоды)», а в какую – «корешки».

Вы замечали, что в определенные периоды ваша жизнь делает необъяснимые скачки? Вдруг откуда не возьмись - бьют через край эмоции. Повышается чувствительность, которая внезапно может смениться полной апатией. Творческие и бесплодные дни, счастливые и несчастные моменты, резкие скачки настроения. Подмечено, что возможности человеческого организма меняются периодически. Эти знания лежат в основе «теории трех биоритмов».

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. Если у него хорошее настроение, он строит воздушные замки, мечтает влюбиться и влюбляется. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм - он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

Теория трех ритмов.

· Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения

· Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение

· Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Тригонометрия в медицине.

Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах.

Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по происшествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Заключение

В настоящее время тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Выводы:

· Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

· Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, биологией, встречается в природе, архитектуре и медицине.

· Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Литература

1. Алимов Ш.А.и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010.

2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и техники: Кн. для внеклас. чтения IX-XX кл. – 2-е изд., испр.-М: Просвещение, 1985.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 1983.

4. Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»

5. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994.

6. Учеба.ru

7. Math.ru «библиотека»

ТРИГОНОМЕТРИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии, в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Геодезия

Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.

Древняя астрономия

Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания - 360 локтей.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры . Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3 . По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны ; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птоломей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:

· точного определения времени суток;

· вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;

· нахождения географических координат текущего места;

· вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

Гномон- древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест),

позволяющий по наименьшей

длине его тени (в полдень) определить угловую высоту солнца.

Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)

Архитектура

Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений

Рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения

Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Медицина и биология .

Модель боритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Формула сердца . В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии. Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории

вновь позабыли.

кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Измерительные работы